Modular Multiplicative Inverse

তুমি Big Mod সম্পর্কে জেনে থাকলে এই পোস্টটি continue করতে পারো।

তুমি (a*b) কে mod করতে পার। যদি বলি, (a/b) কে m দিয়ে mod করতে ? তখন তোমাকে প্রথমে (b mod m) এর Modular Multiplicative Inverse বের করতে হবে। তারপর সেই ভ্যালুকে a এর সাথে modular multiplicative এর নিয়ম অনুযায়ী গুণ করতে হবে। অর্থাৎ, x=Modular Multiplicative Inverse of (b mod m) হলে,

(a/b)%m = ((a%m)*(x%m))%m

এই পোস্টে আমি বুঝানোর চেষ্টা করব, কিভাবে একটি নাম্বারের Modular Multiplicative Inverse বের করতে হয়।

ধরি, আমি (y mod m) এর Modular Multiplicative Inverse বের করব এবং তা হল x। তাহলে, লিখতে পারি,

y ≡ x (mod m)

একে আবার লিখা যায়,

yx ≡ 1 (mod m)

অর্থাৎ, x তখনই (y mod m) এর Modular Multiplicative Inverse হবে, যখন yx ≡ 1 (mod m) হবে।

এখন ব্যাপার হল, x কিভাবে বের করব। এই জন্য আমাদের Fermat’s Little Theorem নামে একটা Theorem জানা লাগবে। এই Theorem অনুযায়ী,

যদি p একটি প্রাইম নাম্বার, a যেকোন integer হয় এবং a যদি p দিয়ে বিভাজ্য না হয়, তাহলে লিখা যায়,

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

এটাকে আবার আমরা লিখতে পারি,

a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)

অর্থাৎ, আমরা বলতে পারি, a এর Modular Multiplicative Inverse হচ্ছে a^(p-2)।

এখানেই লাগছে, Big Mod এর concept। আমরা যখন Modular Multiplicative Inverse এর কোন প্রবলেম সল্ভ করার চেষ্টা করি, তখন ছোট কোন প্রাইম নিই না (কারণ কি ?)। যার কারণে, (p-2) আসলে মোটামুটি বড় একটি নাম্বার (আমি চেষ্টা করি, p = 1000000007 রাখার )। এখুন, a এর ভ্যালু  ১ থেকে বড় যাই হোক, আমার (a^(p-2))%m বের করতে হলে, Big Mod ছাড়া আর কোন পথ নাই। 😀

এবার আসি কোড কেমন হবে…

যদি আমাকে (a/b)%m বের করতে বলে, আমাকে (b mod m) এর Modular Multiplicative Inverse বের করতে হবে। x=Modular Multiplicative Inverse of (b mod m) হলে, আমি bigMod() ফাংশনে পাঠাব,

b, p-2, m

যেখানে, b হচ্ছে যে নাম্বারের Modular Multiplicative Inverse বের করতে চাচ্ছি, p-2 হচ্ছে আমার সিলেক্ট করা প্রাইম থেকে ২ বিয়োগ করে যে সংখ্যা আসে তা আর m হচ্ছে যা দিয়ে mod করছি। এই ফাংশন আমাকে যা রিটার্ন করবে, তাই হচ্ছে Modular Multiplicative Inverse of (b mod m)।

int bigMod(int a,int b,int m) {
    if(b==0)
        return 1;
    int x=bigMod(a,b/2,m);
    x=(x*x)%m;
    if(b%2==1)
        x=(x*a)%m;
    return x;
}

যদি পুরো পোস্ট বুঝতে পারো, নিচের প্রবলেমটি করে ফেল।

Combinations

7 thoughts on “Modular Multiplicative Inverse

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s